Модель формирования массового мнения Заллера-Деффуанта

Содержание модели:

Сообщения представлены в виде точек на плоскости. Это означает, что сообщение характеризуется его отношением к двум вопросам, скажем, экономическим и моральным.

Функция плотности вероятности позиций входящих сообщений постоянно в пределах данной территории, квадрата 2 × 2 и равно нулю вне квадрата. Теперь рассмотрим новое сообщение. Каждый агент должен решить: получить это сообщение или нет. Если положение нового сообщения слишком далеко, от того, что агент, получил в прошлом, то сообщение просто игнорируется. Критическое расстояние между сообщениями определяется ментальной мощностью агента μ; малое значение этого параметра означает, что агент будет иметь возможность получать только те сообщения, находится в непосредственной близости от сообщений, полученных им в прошлом. Чтобы выразить μ математически, рассмотрим агента i, который получил серию сообщений n_i до какого-то времени t. Обозначим координаты этих сообщений на плоскости (xi (t'),yi (t')), где t' < t. Аналогично, координаты нового сообщения обозначим (x(t),y(t)). Тогда мы можем определить μ следующим образом: i-й агент получает новое сообщение, тогда и только тогда, когда существует t''< t, такое, что

x_i (t'') – x(t))² + (y_i (t'') – y(t))² < μ². (1)

Таким образом, в каждый момент времени t каждый агент i представлен пространственным распределением сообщений ρ_i, которые он получил до времени t: ρ_i (x,y;1) = const > 0, если расстояние от (х, у), по крайней мере, до одного сообщения полученного ранее меньше, чем μ. Пример сообщений, полученных агентом, показан на рис. 1 (μ=0.1). Время t эквивалентное число М, входящих сообщений, т.е. не обязательно полученных.

Рис. 1. Пример сообщений

Одним из прямых последствий этого геометрического представления является то, что вероятность получения новых сообщений возрастает с увеличением числа тех, кто уже получил сообщения. Это связано с тем, что новое сообщение является полученным, если оно не слишком далеко от площади, занимаемой ранее полученными сообщениями. Как видно на рис. 1, эта площадь увеличивается с количеством полученных сообщений.

Идея представлять сообщения точками на плоскости, не нова, и это было использовано и в других работах (Sznajd-Weron 2005; Huet 2008). Рассмотрим вопрос, о котором агента социолог попросил выстроить свое мнение. Чтобы ответить на этот вопрос, ему придется в любом случае иметь несколько вариантов ответа, например да или нет. Это эквивалентно новой оси на плоскости. Все сообщения, принятые агентом можно спроецировать вдоль этой новой оси, а их прогнозируемая плотность дает вероятность ответа да или нет. В частности, если новая ось выбрана только одна, например, вертикальная (OY), нормированная вероятность p_i ответа да полученного от агента i равна:

p_i = [Σ_j x_j ( i) Θ ( x_j ( i))] / [Σ_j | x_j ( i)|], (2)

где x_j (i) – координата на оси х сообщения j принятого агентом i, а Θ(x) кусочная функции, определяемая как  Θ(x) = 1 для x > 0, иначе Θ(x) = 0.

В этой модели, сообщения, полученные в прошлом, сохраняется в памяти агента в виде известной площади (площади знаний). В течение времени, эта область увеличивается, а раньше (большое μ) или позже (маленькое μ) она охватывает всю доступную площадь (Kułakowski 2009). Новые сообщения, которые появляются на известной площади агента i не меняются, они изменяют только вероятность p_i, определенную выше.

Нашим численным экспериментом является покрытие всех агентов однородным потоком сообщений, равномерно распределенных по доступной площади. В этом случае рациональный агент не сможет принять решение между да или нет, поскольку им будут соответствовать одинаковые вероятности. Рассмотрим агента с таким μ, что окружность радиуса μ охватывает всю площадь, где новые сообщения, от других агентов или из средств массовой информации, отображаются. Такой агент получает все сообщения. По истечению некоторого времени t его функция вероятности ρ равномерно распределена по площади. Тогда, вероятность р_i­ его ответа да близка к 0,5. Теперь рассмотрим другого агента с небольшим μ. Число сообщений, полученных им увеличивается очень медленно, и так же вероятность того, что он получит новое сообщение, в области, где его ρ_i> 0. Таким образом, пространственное распределение его ρ_i остается неоднородным в течение длительного времени. Но как только мы задаем новую ось, т.е. задаем новый вопрос, проекция полученных сообщений на эту ось остается либо в основном в положительном диапазоне, либо в основном в отрицательном диапазоне. В комбинаторике эта проблема известна как первый закон арксинуса (Феллер 1961). В результате ответ да будет дан с большой вероятностью, а ответ нет с малой, либо наоборот. Таким образом, мнение агента с небольшим μ являются хорошо известным, что противоречит построению входящих сообщений. Этот результат получен численно в Kułakowski(2009), этап формирования мнения соответствует этапам модели(Zaller 1992).

Рис. 2. Три примера пути означают мнения агентов с μ = 0,1, как и рассматривалось в модели, большинство из принятых сообщений сосредоточены на одной стороне горизонтальной (ОХ) или вертикальной оси (OY).

Теперь расширим модель, добавив взаимодействия между агентами. Это делается двумя способами. В первой версии, после каждого входящего сообщения из средств массовой информации каждый агент посылает свое собственное сообщения всем с вероятностью r. Положение этого сообщения в плоскости равно среднему положению информации, полученному отправителем. Правило получения или неполучения сообщения такое же, как и прежде. На рис. 2 показано три примера того, как эти средние позиции зависят от количества полученных сообщений, если μ невелико. Сообщение обрабатывается всеми другими агентами таким же образом, как сообщения из средств массовой информации. Во второй версии, агенты находятся в узлах сети Эрдеша-Реньи (Bollobás 2001). После каждого внешнего входящего сообщения, каждый агент посылает информацию о его мнении с вероятностью г = 1.Разница в том, что эти сообщения могут быть получены только соседями отправителя. В обеих версиях, начальные позиции агентов случайны, что отражает известный закон распространения мнений. Это также является преимуществом по отношению к нашему предыдущему подходу (Kułakowski 2009), где каждый агент начал с центра площади. Отметим, что только сообщения, полученные агентом, считаются. Внутренняя информация агента строится, как постепенно растущее облако сообщений, так же, как и в случае без взаимодействия с другими агентами.

Результаты

На рис. 3 множество принятых сообщений в виде точек на плоскости показано для двух значений μ (0,1 и 0,5) и трех значений M (10³, 5 × 10³ и 10⁴). Как видим, для небольших μ плотность сообщений остается гетерогенным в течение длительного времени, т.е. после 5 × 10³ сообщений, отправленных из средств массовой информации. В  случае с взаимодействием (рис. 4) показывается наличие сильных неоднородностей. Для малых М, эти неоднородности имеют вид плотных облаков точек, как показано в первой строке рис. 4. Для больших M и малых μ, мы видим линии, которые описывают наборы сообщений, отправленных агентам, которые постепенно перемещать средние позиции в общий центр. Аналогичный центр, но гораздо слабее, наблюдается также при увеличении μ. В этом центре, собираются мнения большинства агентов, и это собрание мнений  определяет за крайние позиции мнений, в соответствии с формулой (2). Эти результаты представлены для очень длинных временных рядов, чтобы визуализировать асимптотическое поведение системы. Так как нас интересуют переходные эффекты, а не асимптотические, наши основные результаты, получены для гораздо более коротких рядов сообщений.

Рис. 3. Эволюция знания одного агента без взаимодействия. Агент первоначально находится в центре. Строчки для M = 10³, 5 × 10³ и 10⁴, левая колонка μ=0.1, правая μ=0.5

Рис. 4. Эволюция знания одного агента с взаимодействием (с 99 агентами). Агент первоначально находится в центре. Строчки для M = 10³, 5 × 10³ и 10⁴, левая колонка μ=0.1, правая μ=0.5

Рис. 5. Гистограмма числа p_i для различных μ без взаимодействия между агентами, вероятностный вариант расчета.

Рис. 6. Гистограмма числа p_i для различных μ с взаимодействием между агентами, вероятностный вариант расчета.

Рис. 7. Распределение числа p_i для различных μ без взаимодействия между агентами, случайным образом распределенных в сеть.

Рис. 8. Распределение числа p_i для различных μ с взаимодействием между агентами, случайным образом распределенных в сеть.

Мы видим, что при малых μ взаимодействия не имеют видимого эффекта, в обоих случаях гистограммы показывают сильные максимумы p_i ≅ 0 and p_i ≅ 1. Это означает, что для малых мощностей, сообщения производимые агентами слишком далеко, чтобы быть получены. Как следствие, мнения остаются экстремальными: да или нет с абсолютной уверенностью. Для больших мощностей μ в случаях без и с взаимодействием удивительно другое. В первом случае большой максимум виден при p_i ≅ 0.5 для μ = 1,0 и μ = 1,5 (рис. 5). В последнем случае (рис. 6), этот максимум исчезает. Этот результат показывает, что в случае интенсивного взаимодействия даже при большой мощности μ мнения все равно становятся явными, они просто менее экстремальны, чем при малых μ.

 Для второго варианта расчетов, то есть агенты - узлы случайной сети и средняя степень сети λ = 5. Результаты получены для 103 агентов. Как и прежде, количество отправленных сообщений в средствах массовой информации 100. Результаты показаны на рис. 7 и 8. Как мы видим, эти результаты аналогичны тем же, что и в случае с вероятностным вариантом. Мы видим, что в случае взаимодействия (рис. 6 и 8) и крупнейшей мощности μ, мнения близкие к p_i = 0.5, менее вероятно, чем при умеренной мощности. Этот эффект возникает частично из-за корреляции, и, частично из-за меньшего количество сообщений от других агентов, что вызывает более медленное затухание колебаний.

Рис. 9. Эволюция распределения вероятностей P(p_i) во времени для различного числа сообщений М направленных 103 агентам. Строки соответствуют моделям с учетом взаимодействия и без взаимодействия между агентами. Левая колонка соответствует μ = 0,1, а правая – μ=0,5.

На рис. 9 показана эволюция распределения Р(р) с числом М сообщений, полученных в случае вероятностных расчетов. Во всех случаях (μ = 0,1 и 0,5, с и без взаимодействия), на графиках мы видим, что, как правило, изначальное распределение состоит из двух пиков на p_i равным нулю и единице. С ростом М, пики снижаются, однако этот процесс приводит к одному центральному пика в случае, без взаимодействия, где μ = 0,5. Без взаимодействия, процесс идет слишком медленно, чтобы его можно было бы рассматривать для небольших М. В случае варианта с взаимодействием, в процессе появляется сбора всех мнений близких к общему максимуму, который смещен флуктуациями от центральной плоскости. Как следствие этой тенденции, дисперсия пространственного распределения сообщений мала для каждого агента.

Более подробно модель описана здесь.

© Савушкин Алексей